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Mittelpunkt eines Kreises

Mascheroni hatte seiner Zeit auch das Problem gelöst, den Mittelpunkt eines gegebenen Kreises aufzufinden. Seine Variante ist allerdings sehr kompliziert und es gibt eine einfachere Methode, deren Herkunft unbekannt ist, aber in vielen alten Büchern auftaucht (Abb. 1).
 

Abb. 1

 
Gegeben ist ein Kreis ohne Mittelpunkt. Wähle auf dem Kreisbogen einen beliebigen Punkt A. Um A schlägst du nun einen Bogen mit dem Zirkel, der den Kreis in B und C schneidet. Der Radius dieses Bogens ist frei wählbar, er muss lediglich den Kreis in zwei Punkten schneiden, der Rest spielt keine Rolle. Nun machst du zwei Bögen mit Radius AB um B und C, sie schneiden sich in D. Der Punkt D kann nun inner- oder ausserhalb des Kreises liegen, dies hängt lediglich von Radius AB ab. Schliesslich ziehst du noch einen Kreisbogen mit Radius AD um D. Geschnitten mit dem Kreisbogen um A ergeben sich die Punkte E und F. Der letzte Schritt besteht darin, dass du von E und F aus je einen Bogen durch A schlägst. Der zweite Schnittpunkt ist der gesuchte Mittelpunkt M.

Abb. 2

Beweis: Der folgende Beweis stammt von Marcel Gühr. Betrachte dazu nebenstehende Abbildung:

AM = x; BG = y

Dreieck AED ist ähnlich zu Dreieck AEM

G ist die Mitte von AD

==> AD = 2x + 2z

Behauptung: x = y

Beweis: (x + z)2 + h2 = r2; h2 = y2 - z2

==> x2 + 2xz + z2 + y2 - z2 = r2  (I)

==> r:x = (2x + 2z):r  <==>  2xz = -2x2 + r2  (II)

(II) ==> (I): x2 - 2x2 + r2 + z2 + y2 - z2 = r2

==> - x2 + r2 + y2 = r2  <==>  x = y

Damit ist die Behauptung bewiesen und M somit der Mittelpunkt des Kreises. 

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