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Napoleonisches Problem

Ein weiteres berühmtes Problem, das Mascheroni gelöst hat, ist das Napoleonische Problem. Man sagt, dass Mascheroni ursprünglich einen Vorschlag von Napoleon Bonaparte erhielt. Napoleon war Zeit seines Lebens von der Geometrie fasziniert – kein Wunder, hat sie doch einen grossen militärischen Stellenwert. Napoleon bewunderte die französischen Mathematiker seiner Zeit. Wie viele andere junge Mathematiker war auch Mascheroni von Napoleon und der Französischen Revolution begeistert. Im Jahre 1796 wurden er und Napoleon Freunde. Mascheroni widmete ihm sogar einige Verse in seinen Büchern. Napoleon wiederum bewältigte viele von Mascheronis Zirkelkonstruktionen. Laut Laplace, einem französischen Mathematiker, soll Napoleon ihm und anderen Mathematikern einmal "Unterricht in Geometrie" erteilt und ihnen einige von Mascheronis Lösungen präsentiert haben. Napoleon war es also, der Mascheronis Konstruktionen bei den französischen Mathematikern bekannt machte.

Beim Napoleonischen Problem ist ein Kreis und dessen Mittelpunkt gegeben (Abb. 1). Es soll nun ein Quadrat konstruiert werden, dessen vier Eckpunkte auf dem gegebenen Kreis zu liegen kommen. Nimm dazu einen beliebigen Punkt A auf dem Kreis an, A ist unser erster Eckpunkt. Trage nun mit dem Radius des Kreises von A aus die Punkte B, C und D ab, D ist unser zweiter Eckpunkt. Danach nimmst du AC in den Zirkel und machst um A und D Kreisbogen, die sich in E schneiden. OE ist nun die Seitenlänge des Quadrates. Trage mit Radius OE einen Halbkreis um A ab. Dieser schneidet den ursprünglichen Kreis in F und G. Diese beiden Punkte ergeben zusammen mit A und D das gesuchte Quadrat mit Umkreis O (grau unterlegte Fläche).
 

 
Beweis: Die Strecke AC entspricht einer Seite des gleichseitigen Dreiecks mit Umkreis O. In diesem Fall gilt folgendes Verhältnis zwischen dem Radius r und der Höhe h des Dreiecks:

Die Seite AC des gleichseitigen Dreiecks lässt sich wie folgt berechnen:

Mit Pythagoras lässt sich nun die Seite OE berechnen:

AOF ist ein halbes Quadrat mit der Seitenlänge r. Dessen Diagonale AF, welche der Seite des gesuchten Quadrates AFDG entspricht, muss somit r sein. Wenn wir die Diagonale d des Quadrates AFDG in Abhängigkeit der Seite ausdrücken bestätigt sich das Resultat:

Die Eckpunkte des Quadrates AFDG liegen offensichtlich auf Umkreis O. 

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